Gruppo non abeliano

Un gruppo non abeliano, anche noto come gruppo non commutativo, è un tipo di gruppo in cui l'operazione binaria definita sull'insieme di elementi del gruppo non soddisfa la proprietà commutativa.

Cioè, esistono almeno due elementi $a$ e $b$ nel gruppo tali che $a * b \neq b * a$, dove $ * $ rappresenta l'operazione binaria del gruppo.

La definizione formale di un gruppo $ (G, *) $ richiede che soddisfi le seguenti proprietà:

Chiusura
Per ogni coppia di elementi $a, b \in G$, il risultato dell'operazione $a * b$ è anch'esso in $G$.
Associatività
Per ogni $a, b, c \in G$, vale la relazione $(a * b) * c = a * (b * c)$.
Elemento neutro
Esiste un elemento $e \in G$ tale che per ogni $a \in G$, $a * e = e * a = a$.
Elemento inverso
Per ogni $a \in G$, esiste un elemento $b \in G$ tale che $a * b = b * a = e$, dove $e$ è l'elemento neutro del gruppo.

Oltre a soddisfare queste proprietà, un gruppo è non abeliano o non commutativo se non vale sempre la proprietà commutativa; ovvero, esistono almeno due elementi $a, b \in G$ per cui $a * b \neq b * a$.

Questo significa che l'ordine in cui gli elementi sono combinati influisce sul risultato dell'operazione.

I gruppi non abeliani sono comuni in molte aree della matematica e della fisica, inclusa la teoria dei gruppi, l'algebra, e la meccanica quantistica, dove le simmetrie e le operazioni non commutative giocano ruoli fondamentali.

Un esempio

L'insieme delle matrici invertibili $2 \times 2$ con coefficienti reali o di un qualsiasi altro campo, come i numeri complessi, forma un gruppo non abeliano rispetto all'operazione di moltiplicazione delle matrici.

Va sottolineata una precisazione importante: non tutte le matrici $2 \times 2$ formano un gruppo, ma solo quelle che sono invertibili, cioè, le matrici $2 \times 2$ con determinante non nullo.

Questo insieme è noto come il gruppo generale lineare di grado 2, indicato con $GL(2, \mathbb{R})$ nel caso dei coefficienti reali.

Si tratta di un gruppo perché soddisfa le principali proprietà:

Chiusura
Il prodotto di due matrici invertibili è sempre una matrice invertibile.
Associatività
La moltiplicazione di matrici è associativa.
Elemento neutro
La matrice identità $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ funge da elemento neutro, poiché $AI = IA = A$ per ogni matrice $A \in GL(2, \mathbb{R})$.
Elemento inverso
Ogni matrice invertibile $A$ ha un'inversa $A^{-1}$ tale che $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.

Il gruppo $GL(2, \mathbb{R})$ è non abeliano, il che significa che esistono almeno due matrici $A$ e $B$ in $GL(2, \mathbb{R})$ tali che $ AB \neq BA $.

In altre parole, l'ordine in cui si moltiplicano le matrici può influenzare il risultato della moltiplicazione.

Questo si può facilmente dimostrare con un esempio. Consideriamo le seguenti matrici $A$ e $B$:

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Calcoliamo i prodotti $AB$ e $BA$:

$$ AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ BA = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Poiché $AB \neq BA$, questo dimostra che il gruppo delle matrici $2 \times 2$ invertibili con operazione di moltiplicazione è non abeliano.