Gruppo lineare generale complesso
Il gruppo generale lineare complesso $ GL(n, C) $ è l'insieme di tutte le matrici \( n \times n \) con entrate nel campo dei numeri complessi \( \mathbb{C} \), che sono invertibili.
L'invertibilità di una matrice è determinata dal fatto che il suo determinante è diverso da zero (det(A) ≠ 0).
Dove $ det(A) $ è il determinante della matrice \( A \), una funzione che associa a ogni matrice quadrata un numero complesso.
Una matrice è invertibile (cioè ha un'inversa) se e solo se il suo determinante è diverso da zero.
L'insieme $ M_n(C) $ rappresenta lo spazio di tutte le matrici quadrate di dimensione \( n \times n \) con entrate nei numeri complessi.
Il gruppo $ GL(n,C) $ coincide con il gruppo degli endomorfismi invertibili di \( \mathbb{C}^n \) in sé stesso perché è un endomorfismo, ossia una mappatura lineare da uno spazio vettoriale a se stesso. Essendo invertibile, esiste una mappatura inversa che può riportare gli elementi dello spazio al loro stato originario. Gli endomorfismi invertibili formano un gruppo sotto la composizione delle funzioni.
In sostanza, \( GL(n, \mathbb{C}) \) è un gruppo fondamentale nella matematica, specialmente nell'algebra lineare e nella teoria dei gruppi, perché include tutte le trasformazioni lineari che sono possibili su uno spazio vettoriale complesso \( n \)-dimensionale che possono essere invertite.
Esempio
Ecco un esempio di una matrice \( 2 \times 2 \) con elementi complessi che è invertibile:
\[ A = \begin{bmatrix} 0.387 + 0.969i & 0.593 + 0.945i \\ 0.890 + 0.184i & 0.964 + 0.854i \end{bmatrix} \]
Il determinante di questa matrice \( A \) è approssimativamente \(-0.8083 + 0.3145i\).
$$ \det(A) = -0.8083 + 0.3145i $$
Poiché il determinante non è zero, la matrice è invertibile e quindi appartiene al gruppo generale lineare complesso \( GL(2, \mathbb{C}) \).
