Gruppo abeliano

Un gruppo abeliano, chiamato anche gruppo commutativo, è una struttura algebrica che soddisfa le proprietà di un gruppo, con l'aggiunta di una proprietà importante: la commutatività dell'operazione di gruppo.

Questo vuol dire che, dati due elementi $a$ e $b$ del gruppo, l'ordine in cui vengono combinati non cambia il risultato: $a \cdot b = b \cdot a$.

Per essere definito come gruppo abeliano, una struttura deve soddisfare i seguenti criteri:

Chiusura
Per ogni coppia di elementi $a, b$ nel gruppo, il risultato dell'operazione $a \cdot b$ è anch'esso nel gruppo.
Associatività
Per ogni tripla di elementi $a, b, c$ nel gruppo, vale la regola $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Elemento neutro
Esiste un elemento nel gruppo, comunemente indicato come $e$, tale che per ogni elemento $a$ nel gruppo, $a \cdot e = e \cdot a = a$.
Elemento inverso
Per ogni elemento $a$ nel gruppo, esiste un elemento $a^{-1}$ tale che $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$, dove $e$ è l'elemento neutro.

Oltre a queste quattro proprietà che caratterizzano tutti i gruppi, un gruppo abeliano soddisfa anche la commutatività.

In altre parole, per ogni coppia di elementi $a, b$ nel gruppo viene soddisfatta la proprietà $a \cdot b = b \cdot a$.

Queste proprietà rendono i gruppi abeliani particolarmente semplici da studiare e applicare in varie aree. Alcuni esempi famosi di gruppi abeliani includono l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ con l'operazione di addizione e l'insieme dei numeri razionali (escluso lo zero) $\mathbb{Q}^*$ con l'operazione di moltiplicazione.

Un esempio

Facciamo un esempio di gruppo abeliano utilizzando l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ con l'operazione di addizione.

L'insieme $\mathbb{Z}$ comprende tutti gli interi positivi, negativi e lo zero, ossia $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Verifichiamo che $\mathbb{Z}$ soddisfa le proprietà di un gruppo abeliano:

Chiusura
La somma di due qualsiasi interi è ancora un intero.
Ad esempio, $3 + (-5) = -2$, e $-2$ è ancora un elemento di $\mathbb{Z}$.
Associatività
La somma di interi è associativa.
Per esempio, $(2 + 3) + 1 = 2 + (3+1) $.
Elemento neutro
Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, poiché la somma di zero e qualsiasi altro intero è quell'intero.
Per esempio, $5 + 0 = 5$ e lo stesso vale con qualsiasi altro numero intero.
Elemento inverso
Per ogni intero $a$, esiste un intero $b = -a$ tale che $a + b = 0$.
Per esempio, l'inverso di $3$ è $-3$ perché $3 + (-3) = 0$.
Commutatività
La somma di due interi è commutativa.
Ad esempio, $2 + 3 = 5$ e $3 + 2 = 5$.

Queste proprietà mostrano che il gruppo $ ( \mathbb{Z} , + ) $ con l'operazione di addizione è un gruppo abeliano.

Esempio 2

L'insieme degli interi $ \mathbb{Z} $ non forma un gruppo con l'operazione della moltiplicazione $ \times $ perché, salvo il caso dei numeri 1 e -1, gli interi non hanno un elemento inverso moltiplicativo.

L'insieme che più si avvicina a soddisfare le proprietà di un gruppo abeliano è l'insieme finito $\{1, -1\}$.

Verifichiamo come questo insieme soddisfi le proprietà di un gruppo abeliano sotto l'operazione di moltiplicazione:

Chiusura
La moltiplicazione di qualsiasi coppia di elementi in $\{1, -1\}$ risulta ancora in un elemento dell'insieme. Questa è la tabella moltiplicativa del gruppo.

$ \times $	1	-1
1	1	-1
-1	-1	1

Ad esempio: $$ 1 \times 1 = 1 $$ $$ 1 \times -1 = -1 $$ $$ -1 \times 1 = -1 $$ $$ -1 \times -1 = 1 $$

Associatività
La moltiplicazione è associativa.
Ad esempio: $$ (1 \times -1) \times -1 = 1 $$ $$ 1 \times (-1 \times -1) = 1 $$
Elemento neutro
L'elemento neutro per la moltiplicazione è $1$, poiché per ogni elemento $a$ dell'insieme, $a \times 1 = 1 \times a = a$. Quindi, sia per $1$ che per $-1$, moltiplicarli per $1$ li lascia invariati.
Ad esempio: $$ 1 \times 1 = 1 $$ $$ -1 \times 1 = -1 $$
Inverso
Ogni elemento nell'insieme ha un inverso moltiplicativo che è anche nell'insieme. L'inverso di $1$ è $1$ poiché $1 \times 1 = 1$, e l'inverso di $-1$ è $-1$ poiché $-1 \times -1 = 1$.
Ad esempio: $$ 1 \times 1 = 1 $$ $$ -1 \times -1 = -1 $$
Commutatività
La moltiplicazione tra gli elementi dell'insieme è commutativa.
Ad esempio: $$ 1 \times -1 = -1 \times 1 = -1 $$

Questo mostra che l'insieme $\{1, -1\}$ sotto l'operazione di moltiplicazione soddisfa tutte le proprietà di un gruppo abeliano.

È importante notare che non possiamo estendere questo gruppo ad altri interi sotto la moltiplicazione mantenendo la struttura di gruppo abeliano perché solo $1$ e $-1$ hanno inversi moltiplicativi nell'insieme degli interi.