Sottogruppo
Un sottogruppo $ S $ è un sottoinsieme di un gruppo $ G $ che, rispetto all'operazione del gruppo, forma a sua volta un gruppo. $ S < G $
Questa struttura conserva le proprietà di chiusura, associatività, esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso, che sono centrali nella definizione di un gruppo.
Quindi, un sottogruppo non è solo un sottoinsieme qualsiasi di un gruppo, ma deve soddisfare anche tutte le condizioni specifiche che ne fanno un gruppo a sé stante rispetto alla stessa operazione del gruppo che lo contiene.
Un esempio pratico
Consideriamo il gruppo degli interi \(\mathbb{Z}\) sotto l'operazione di addizione.
Il gruppo $ ( \mathbb{Z}\, + ) $ è un esempio classico di gruppo infinito, dove ogni elemento ha un inverso (il suo opposto) e l'elemento neutro è 0, perché aggiungere 0 a qualsiasi numero non lo cambia.
Un sottogruppo interessante di $ ( \mathbb{Z}\, + ) $ è il gruppo $ ( 2\mathbb{Z} , + ) $, che consiste in tutti gli interi pari $ 2\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} $.
L'insieme $ \mathbb{Z} $ forma un sottogruppo nell'addizione + perché soddisfa le condizioni necessarie per essere un gruppo:
- Chiusura
La somma di due numeri pari è sempre un numero pari. Se prendiamo due elementi qualsiasi \(a, b \in 2\mathbb{Z}\), ad esempio 4 e 6, la loro somma \(4 + 6 = 10\) è ancora un elemento di \(2\mathbb{Z}\). - Elemento neutro
L'elemento neutro del gruppo degli interi sotto l'addizione è 0, che è anche un numero pari, quindi appartiene a \(2\mathbb{Z}\). - Inverso
Ogni elemento \(a \in 2\mathbb{Z}\) ha un inverso \(–a\) che appartiene anche a \(2\mathbb{Z}\). Ad esempio, l'inverso di 4 è -4, e entrambi sono elementi di \(2\mathbb{Z}\).
Se queste tre condizioni sono soddisfatte, allora è implicitamente garantita anche la proprietà associativa.
Ad esempio, se l'insieme \( 2\mathbb{Z} \) è chiuso rispetto all'addizione, allora eredita automaticamente la proprietà associativa dell'addizione $ a + (b+c) = (a+b) + c $ dal suo gruppo principale $ ( \mathbb{Z}, + ) $. Questo perché la proprietà associativa è una caratteristica dell'operazione di addizione stessa e ogni sottoinsieme che forma un sottogruppo utilizza la stessa operazione definita nel gruppo più grande. Quindi, non c'è bisogno di verificarla.
Il sottogruppo \(2\mathbb{Z}\) rappresenta una struttura più semplice all'interno del gruppo più complesso \(\mathbb{Z}\).
Per il resto $ ( 2\mathbb{Z} , + ) $ può essere considerato come un gruppo a se stante.
I sottogruppi come \(2\mathbb{Z}\) aiutano a illustrare come i gruppi possano essere costruiti da parti più piccole e come queste parti interagiscono con la struttura più ampia del gruppo principale.
In generale sono sottogruppi di $ \mathbb{Z} $ rispetto all'addizione tutti i sottoinsiemi costruiti per multipli di qualsiasi intero \(n\). Quindi anche \( (n\mathbb{Z},+) \) forma un sottogruppo di \(\mathbb{Z}\). Questo dimostra la ricchezza e la varietà di sottogruppi possibili anche in contesti matematici apparentemente semplici.
Il criterio del sottogruppo
Un criterio molto utile per determinare se un sottoinsieme \(S\) di un gruppo \((G, *)\) è un sottogruppo, è noto come criterio del sottogruppo di un passo o criterio di chiusura del sottogruppo.
Questo criterio afferma che:
Un sottoinsieme non vuoto \(S\) di un gruppo \((G, *)\) è un sottogruppo di \((G, *)\) se e solo se, presi comunque due elementi qualsiasi di S, il risultato dell'operazione del primo elemento per l'inverso del secondo elemento appartiene ancora a S $$ \forall \ a, b \in S \ , \ a * b^{-1} \in S $$
Questo criterio è particolarmente potente perché semplifica e condensa le verifiche necessarie per dimostrare che \(S\) è un sottogruppo in un unico passaggio.
Esempio
Proviamo ad applicare il criterio del sottogruppo di un passo al sottogruppo \(2\mathbb{Z}\) rispetto all'operazione di addizione nel gruppo \(\mathbb{Z}\).
Ricorda che \(2\mathbb{Z}\) consiste in tutti gli interi pari, quindi \(a\) e \(b\) sono entrambi numeri pari.
Il criterio afferma che per verificare se \(2\mathbb{Z}\) è un sottogruppo di \(\mathbb{Z}\), dobbiamo dimostrare che per ogni \(a, b \in 2\mathbb{Z}\), l'espressione \(a + (-b)\) appartiene ancora a \(2\mathbb{Z}\).
L'espressione \(a + (-b)\) equivale alla sottrazione \(a - b\) dato che stiamo lavorando con l'addizione.
Consideriamo due elementi qualsiasi \(a\) e \(b\) in \(2\mathbb{Z}\).
Ad esempio, scegliamo \(a = 4\) e \(b = 6\), che sono entrambi elementi di \(2\mathbb{Z}\). Calcoliamo \(a - b\):
\[a - b = 4 - 6 = -2\]
Il risultato, \(-2\), è ancora un numero pari, e quindi appartiene a \(2\mathbb{Z}\).
Tuttavia, il criterio richiede che questa proprietà sia vera per ogni coppia di elementi in \(2\mathbb{Z}\), non solo per la coppia specifica scelta per l'esempio.
Dato che la sottrazione di due numeri pari produce sempre un numero pari, possiamo concludere che \(2\mathbb{Z}\) è effettivamente un sottogruppo di \(\mathbb{Z}\) secondo il criterio del sottogruppo di un passo.
