Gruppo generale lineare reale

Il gruppo generale lineare reale, indicato come $ GL(n, \mathbb{R}) $, è un gruppo costituito da tutte le matrici quadrate di dimensione $ n \times n $, con elementi reali, che sono invertibili, ovvero quelle matrici che hanno determinante non nullo ($ \det(A) \neq 0 $). $$ GL(n,R) = \{ A \in M_n(R): \det(A) \ne 0 \} $$

Ogni matrice in $ GL(n, \mathbb{R}) $ rappresenta una trasformazione lineare invertibile di uno spazio vettoriale reale $ \mathbb{R}^n $ in sé stesso.

Queste trasformazioni sono fondamentali in molti campi della matematica e delle sue applicazioni, come la geometria, la fisica teorica e l'ingegneria, poiché descrivono rotazioni, riflessioni, dilatazioni e altre trasformazioni che possono essere composte e invertite.

Il "gruppo" in questo contesto è una struttura algebrica che soddisfa quattro proprietà:

Chiusura: Combinando due elementi del gruppo (in questo caso, moltiplicando due matrici), si ottiene un altro elemento del gruppo.
Associatività: L'ordine in cui si combinano gli elementi (si moltiplicano le matrici) non cambia il risultato finale.
Elemento neutro: Esiste un elemento nel gruppo che, combinato con qualsiasi altro elemento, non ne cambia il valore. Per le matrici, questo è la matrice identità $ I_n $, dove $ I_n \times A = A \times I_n = A $.
Invertibilità: Ogni elemento del gruppo ha un inverso tale che, combinato con l'elemento originale, produce l'elemento neutro. Per una matrice, questo significa che per ogni matrice $ A $ esiste una matrice $ B $ tale che $ A \times B = B \times A = I_n $.

La struttura del gruppo generale lineare reale riflette la composizione di tutte le possibili trasformazioni lineari invertibili. E' un oggetto di studio centrale nell'algebra lineare e nella teoria dei gruppi.

Esempio

Per fare un esempio concreto del gruppo generale lineare reale $ GL(n, \mathbb{R}) $, possiamo considerare $ GL(2, \mathbb{R}) $, il gruppo delle matrici $ 2 \times 2 $ con coefficienti reali e determinante non nullo.

Un esempio di una matrice in $ GL(2, \mathbb{R}) $ potrebbe essere:

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $$

Per essere in $ GL(2, \mathbb{R}) $, il determinante di $ A $ deve essere diverso da zero. Calcoliamo il determinante:

$$ \det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10 $$

Poiché $ \det(A) \neq 0 $, la matrice $ A $ è invertibile e appartiene a $ GL(2, \mathbb{R}) $.

La matrice inversa A^-1 è la seguente:

$$ A^{-1} = \frac{1}{ \det{A} } \cdot \text{cof}(A)^T $$

$$ A^{-1} = \frac{1}{ 10 } \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5 } & - \frac{2}{10 } \\ - \frac{1}{10 } & \frac{3}{10 } \end{pmatrix} $$

In effetti moltiplicando la matrice A per la sua matrice inversa A^-1 si ottiene la matrice identità.

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{5 } & - \frac{2}{10 } \\ - \frac{1}{10 } & \frac{3}{10 } \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 \cdot \frac{2}{5 } + 2 \cdot ( - \frac{1}{10 } ) & 3 \cdot ( - \frac{2}{10 } ) + 2 \cdot \frac{3}{10 } \\ 1 \cdot \frac{2}{5 } + 4 \cdot ( - \frac{1}{10 } ) & 1 \cdot ( - \frac{2}{10 } ) + 4 \cdot \frac{3}{10 } \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{12-2}{10 } & \frac{-6+5}{10} \\ \frac{4-4}{10} & \frac{-2+12}{10} \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Questa matrice specifica rappresenta una trasformazione lineare del piano $ \mathbb{R}^2 $ che può essere interpretata geometricamente.

Il fattore 3 lungo la prima colonna indica una dilatazione lungo l'asse delle x.
Il fattore 4 lungo la seconda colonna indica una dilatazione lungo l'asse delle y.
I valori 2 e 1 fuori dalla diagonale principale implicano che c'è anche una sorta di shear (taglio) o rotazione che fa deviare le immagini dei vettori base standard dal loro posto usuale lungo gli assi.

Per vedere come questa matrice trasforma il piano, potresti prendere un vettore qualsiasi, come $ v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, e moltiplicarlo per $ A $:

$$ A \cdot v = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x + 2y \\ x + 4y \end{pmatrix} $$

Questa nuova immagine del vettore $ v $ è ancora nel piano, ma è stata trasformata - scalata, ruotata, riflessa, tagliata, o una combinazione di queste - a seconda dei valori specifici di $ x $ e $ y $.

Tutte le trasformazioni lineari invertibili del piano in sé stesso sono rappresentate dalle matrici in $ GL(2, \mathbb{R}) $.