Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico G è un gruppo ciclico

Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è anch'esso un gruppo ciclico.

Facciamo un esempio utilizzando i numeri interi modulo $ n $, che formano un gruppo ciclico sotto l'operazione di addizione modulo $ n $.

Prendiamo il gruppo ciclico $ \mathbb{Z}_{12} $, cioè gli interi modulo 12, che ha per elemento generatore il numero 1, dato che 1 modulo 12 genererà tutti gli altri elementi del gruppo tramite somme ripetute.

Il gruppo $ \mathbb{Z}_{12} $ è $ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} $.

Ora consideriamo il sottogruppo $ H $ generato dall'elemento 4 in $ \mathbb{Z}_{12} $. Calcoliamo tutti gli elementi di $ H $:

$ 4 \cdot 1 = 4 \mod 12 $
$ 4 \cdot 2 = 8 \mod 12 $
$ 4 \cdot 3 = 12 \mod 12 = 0 $ (qui torniamo all'elemento neutro del gruppo)
$ 4 \cdot 4 = 16 \mod 12 = 4 $ (e da qui iniziano a ripetersi gli elementi)

Quindi $ H $ ha per elementi $ \{0, 4, 8\} $.

Si può notare che anche $ H $ è ciclico, perché è generato dall'elemento 4.

Ogni elemento di $ H $ è un multiplo di 4 modulo 12.

Inoltre, 4 è il minimo numero positivo che genera tutti gli elementi di $ H $ attraverso la sua potenza (in questo caso attraverso la moltiplicazione in modulo 12).

Esempio 2

Prendiamo l'elemento 5 in $ \mathbb{Z}_{12} $ e vediamo se genera un sottogruppo e, in caso affermativo, se questo sottogruppo è ciclico.

Calcoliamo gli elementi generati da 5 in $ \mathbb{Z}_{12} $:

$ 5 \cdot 1 = 5 \mod 12 $
$ 5 \cdot 2 = 10 \mod 12 $
$ 5 \cdot 3 = 15 \mod 12 = 3 $
$ 5 \cdot 4 = 20 \mod 12 = 8 $
$ 5 \cdot 5 = 25 \mod 12 = 1 $ (questo ci riporta all'identità, quindi si chiude il ciclo)
$ 5 \cdot 6 = 30 \mod 12 = 6 $
$ 5 \cdot 7 = 35 \mod 12 = 11 $
$ 5 \cdot 8 = 40 \mod 12 = 4 $
$ 5 \cdot 9 = 45 \mod 12 = 9 $
$ 5 \cdot 10 = 50 \mod 12 = 2 $
$ 5 \cdot 11 = 55 \mod 12 = 7 $
$ 5 \cdot 12 = 60 \mod 12 = 0 $

Come puoi vedere, attraverso le potenze di 5, abbiamo generato ogni elemento di $ \mathbb{Z}_{12} $.

In questo caso, il sottogruppo generato da 5 è effettivamente l'intero gruppo $ \mathbb{Z}_{12} $ stesso, e poiché $ \mathbb{Z}_{12} $ è ciclico, il sottogruppo (che è l'intero gruppo in questo caso) è ovviamente ciclico.

Dimostrazione

Questo teorema afferma che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è anch'esso un gruppo ciclico.

La dimostrazione segue questi passi:

Si considera un sottogruppo $ S $ del gruppo ciclico $ G $, generato da un elemento $ g $, ossia $ G = \langle g \rangle $.
Se $ S $ è solo l'elemento neutro $ e $, allora è ciclico per definizione.
Se $ S $ contiene un elemento $ g^t $ diverso da $ e $, allora sicuramente contiene potenze di $ g $ che sono numeri naturali $ h $.
Ad esempio, l'elemento g^t=4²=8 con t=2 del gruppo $ \mathbb{Z}_{12}, + $ dove G è l'insieme finito dei numeri interi da 0 a 11 ovvero $ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} $. Questo elemento genera il sottogruppo $ S = \{ 0,4,8 \} $
Tra questi elementi, si prende $ m $ come il minimo intero positivo per cui $ g^m $ è in $ S $, e si propone che $ S $ sia generato da $ g^m $, ossia $ S = \langle g^m \rangle $.
Ad esempio, l'elemento g^m=4¹=4 con m=1 appartiene ancora al sottogruppo $ S = \{ 0, 4, 8 \} $.
È ovvio che ogni potenza di $ g^m $ è in $ S $ (poiché $ g^m $ è in $ S $ e le potenze di un elemento di $ S $ restano in $ S $).
Per dimostrare che ogni elemento di $ S $ può essere scritto come una potenza di $ g^m $, si prende un elemento generico $ g^k $ di $ S $ e si divide $ k $ per $ m $ ottenendo un quoziente $ q $ e un resto $ r $ con $ 0 \leq r < m $.
Ad esempio, l'elemento g^k=4²=8 con k=2 appartiene ancora al sottogruppo $ S = \{ 0, 4, 8 \} $. Se dividiamo k=2 per m=1 si ottiene come quoziente q=2 e come resto r=0.
Si mostra che $ g^k $ può essere scritto come $ g^{mq+r} $ e, quindi, che $ g^r $ deve essere in $ S $. Ma poiché $ m $ è il minimo intero per cui una sua potenza è in $ S $, il resto $ r $ deve essere 0 per evitare una contraddizione.
Quindi, $ k $ è un multiplo di $ m $ e $ g^k $ può essere scritto come $ (g^m)^q $, che è una potenza di $ g^m $.

In conclusione, ogni elemento di $ S $ è una potenza di $ g^m $, il che mostra che $ S $ è generato da $ g^m $ e quindi è ciclico.