Unicità dei sottogruppi nei gruppi ciclici per ogni divisore dell'ordine
Se abbiamo un gruppo ciclico \( G = \langle g \rangle \) di ordine finito \( n \), allora per ogni divisore \( d \) di \( n \), esiste uno e un solo sottogruppo di \( G \) di ordine \( d \), e questo sottogruppo è generato da \( g^{n/d} \).
Questo significa che \( g^n = e \), dove \( e \) è l'elemento neutro del gruppo mentre $ n $ è l'ordine del gruppo $ G $.
In generale l'ordine di un gruppo indica il numero di elementi del gruppo stesso.
Non possono esistere due sottogruppi distinti dello stesso ordine \( d \) in \( G \) perché ciò implicherebbe due elementi diversi di \( G \) con lo stesso ordine \( d \), il che è impossibile in un gruppo ciclico.
Esempio
Per fare un esempio pratico, consideriamo il gruppo ciclico \( \mathbb{Z}_{12} \) rispetto all'addizione modulo 12.
Il gruppo Z12 è di ordine n=12 perché è composto da 12 elementi, i numeri interi da 0 a 11.
$$ Z_{12} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \} $$
I divisori dell'ordine n=12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Quindi ci saranno altrettanti sottogruppi di ordine corrispondente a questi divisori.
Per ogni divisore \( d \) di 12, calcoliamo \( g^{12/d} \) per trovare il generatore del sottogruppo di ordine \( d \):
Per \( d = 1 \) il sottogruppo ha ordine 1.
Si tratta del divisore più piccolo, che divide sempre il numero n=12.
L'elemento che genera il sottogruppo è \( g^{12/1} = g^{12} = 12 \), che è l'elemento neutro \( 0 \) in \( \mathbb{Z}_{12} \).
Dove g12 non è una potenza moltiplicativa ma consiste nel ripetere 12 volte l'operazione del gruppo ossia l'addizione $$ g^{12} = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=12 $$
Quindi, il sottogruppo è composto da un solo elemento \( \{0\} \) e ha ordine 1.
$$ <12> = \{ 0 \} $$
Per \( d = 2 \) il sottogruppo ha ordine 2.
In questo caso l'elemento che genera il sottogruppo è \( g^{12/2} = g^{6} = 1+1+1+1+1+1 = 6 \).
Quindi, il sottogruppo è composto da due elementi \( \{0, 6\} \) e ha ordine pari a 2.
$$ <6> = \{ 0,6 \} $$
Per \( d = 3 \) il sottogruppo ha ordine 3.
Il generatore del sottogruppo è l'elemento \( g^{12/3} = g^{4} = 1+1+1+1 = 4 \).
Pertanto, il sottogruppo ciclico è composto da tre elementi \( \{0, 4, 8\} \) e ha ordine 3.
$$ <4> = \{ 0,4,8 \} $$
Per \( d = 4 \) il sottogruppo ha ordine 4.
Prendiamo il divisore \( d = 4 \), che è un divisore di \( 12 \).
Il sottogruppo corrispondente è generato da \( g^{12/4} = g^3 = 1+1+1 = 3 \).
Quindi in \( \mathbb{Z}_{12} \), il sottogruppo \( \langle 3 \rangle \) è \( \{0, 3, 6, 9\} \) e ha ordine 4, come previsto da questa proprietà.
$$ <3> = \{ 0,3,6,9 \} $$
Per \( d = 6 \)il sottogruppo ha ordine 6.
Il generatore del sottogruppo è \( g^{12/6} = g^{2}= 1+1 = 2 \).
In questo caso il sottogruppo è composto da 6 elementi \( \{0, 2, 4, 6, 8, 10\} \) e ha ordine 6.
$$ <3> = \{ 0,2,4,6,8 \} $$
Per \( d = 12 \) il sottogruppo ha ordine 12.
Si tratta del numero che coincide con l'ordine n=12 del gruppo stesso.
Il generatore del sottogruppo è \( g^{12/12} = g^{1} = 1 \), ovvero l'elemento generatore di tutto il gruppo.
Non stiamo parlando della "potenza" nel senso moltiplicativo, ma stiamo dicendo che l'addizione ripetuta di 1, l'operazione di gruppo, può generare tutti gli elementi del gruppo.
Pertanto, il sottogruppo coincide con il gruppo stesso \( \mathbb{Z}_{12} \) cioè \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} \).
$$ <1> = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \} $$
In ognuno di questi casi, il sottogruppo è l'unico sottogruppo di quel particolare ordine e è generato da \( g^{n/d} \) come previsto dalla proprietà dei gruppi ciclici.
