La legge di annullamento del prodotto
La legge di annullamento del prodotto afferma che se il prodotto di due numeri o due espressioni algebriche è pari a zero, allora almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero. $$ a \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 \, \text{o} \, b = 0 $$
Ad esempio, se moltiplichiamo \(3 \cdot 0\), il risultato sarà 0, e lo stesso accade con \(0 \cdot 5\).
$$ 3 \cdot 0 = 0 $$
$$ 5 \cdot 0 = 0 \\ \vdots $$
Non esiste modo di ottenere il risultato zero da un prodotto, a meno che almeno uno dei numeri in questione (o entrambi) non sia a sua volta zero.
Questo accade perché lo zero è l'elemento assorbente della moltiplicazione. Il prodotto tra qualsiasi numero $ n $ e zero $ 0 $ è sempre nullo.
$$ n \cdot 0 = 0 \cdot n = 0 $$
E' una proprietà fondamentale dell'algebra che sembra semplice a prima vista, ma ha implicazioni molto importanti, dalla risoluzione di equazioni polinomiali alla geometria.
A cosa serve? Questo concetto puoi applicarlo in vari problemi di algebra e analisi matematica. Ad esempio, lo puoi usare per risolvere equazioni e sistemi di equazioni, oppure per dimostrare le proprietà di una funzione o di altri oggetti matematici.
Ti faccio un esempio pratico di utilizzo della legge di annullamento del prodotto.
Supponi di dover risolvere l'equazione
$$ (x-2) \cdot (x+3) = 0 $$
Secondo la legge di annullamento del prodotto, il prodotto è nullo se almeno uno dei due fattori è uguale a zero.
Quindi, se (x-2)(x+3)=0 è uguale a zero, puoi dedurre che (x-2)=0 oppure (x+3)=0
A questo punto puoi risolvere le equazioni dei due fattori e capire quando si annullano.
L'equazione del primo fattore si annulla quando x=2
$$ x -2 = 0 $$
$$ x - 2 +2 = 0 + 2 $$
$$ x = 2 $$
L'equazione del secondo fattore si annulla quando x=-3
$$ x +3 = 0 $$
$$ x +3-3 = 0-3 $$
$$ x = -3 $$
Pertanto, il prodotto (x-2)(x+3) si annulla quando x=2 oppure x=-3
Questi sono i valori della variabile x che rendono uno dei fattori uguale a zero e, di conseguenza, il prodotto di entrambi i fattori uguale a zero.
La legge di annullamento del prodotto è particolarmente utile nella risoluzione di equazioni algebriche, specialmente quelle polinomiali.
Ecco un altro esempio.
Considera un esempio classico di equazione quadratica:
$$ x^2 - 5x = 0 $$
Puoi riscrivere l’equazione raccogliendo il fattore comune $ x $.
$$ x(x - 5) = 0 $$
A questo punto, puoi studiare separatamente le due equazioni e individuare quali valori le annullano:
La prima equazione $ x=0 $ è già risolta, mentre la seconda equazione $ (x-5 ) $ si annulla per $ x=5 $.
Pertanto, le soluzioni dell'equazione quadratica sono \(x = 0\) e \(x = 5\).
Questo semplice processo ti permette di risolvere un ampio spettro di equazioni, scomponendo un polinomio in fattori più semplici.
