Le potenze dei numeri

Cos'è una potenza?

Se prendi due numeri naturali $ a $ e $ m $ con $ m > 1 $, la potenza di base $ a $ ed esponente $ m $ si indica come $ a^m $ e rappresenta il prodotto di $ m $ fattori uguali a $ a $: $$ a^m = a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \quad (\text{m volte}) $$

Immagina di dover moltiplicare lo stesso numero più volte, ad esempio $ 5 \cdot 5 \cdot 5 $. Piuttosto che scrivere questo prodotto in modo esteso, puoi utilizzare una notazione più compatta: $ 5^3 $. Dove:

5 è la base, cioè il numero che viene moltiplicato per se stesso.
3 è l'esponente, che indica quante volte la base deve essere moltiplicata.

La potenza ti permette di scrivere in modo compatto il prodotto di più fattori uguali.

E' una notazione molto utile anche perché ti consente di semplificare calcoli e di rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli con facilità.

Ad esempio, puoi scrivere il numero 16 come potenza di due. $$ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 $$ Questa notazione rende i calcoli più efficienti e chiari.

Le proprietà delle potenze
Le potenze con esponente 1 e 0
Le potenze con esponente negativo

Le proprietà delle potenze

Le potenze seguono diverse regole che permettono di semplificare i calcoli. Vediamole una per una, con una descrizione chiara e degli esempi concreti.

Prodotto di potenze con la stessa base
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
Esempio: $ 2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64 $
Quoziente di potenze con la stessa base
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti, purché l’esponente del numeratore sia maggiore o uguale a quello del denominatore. $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad \text{con} \; a \neq 0, \; $$
Esempio: $ \frac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} = 2^3 = 8 $
Prodotto di potenze con lo stesso esponente
Il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che mantiene il medesimo esponente e ha per base il prodotto delle basi. $$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$
Esempio: $ 5^2 \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^2 = (15)^2 = 225 $
Quoziente di potenze con lo stesso esponente
Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che mantiene il medesimo esponente e ha per base il quoziente delle basi. $$ \frac{a^n}{b^n} = ( \frac{a}{b} )^n \quad \text{con} \; b \neq 0, \; $$
Esempio: $ \frac{15^{2}}{3^2} = ( \frac{15}{3} )^2 = 5^2 = 25 $
Potenza di una potenza
La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e, come esponente, il prodotto degli esponenti. $$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
Esempio: $ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64 $
Potenza di un prodotto
La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. $$ (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m $$
Esempio: $ (3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144 $
Potenza di un quoziente
La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze dei singoli termini, purché il denominatore sia diverso da zero. $$ \left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \quad \text{con} \; b \neq 0 $$
Esempio: $ \left(\frac{12}{4}\right)^2 = \frac{12^2}{4^2} = \frac{144}{16} = 9 $

Queste proprietà sono essenziali per semplificare espressioni complesse e risolvere problemi che coinvolgono potenze in modo rapido ed efficiente.

Qualche esempio pratico

Quando moltiplichio due potenze con la stessa base, come $ 2^2 $ e $ 2^4 $, sommi gli esponenti:

$$ 2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64 $$

Quando, invece, dividi due potenze con la stessa base, sottrai gli esponenti:

$$ \frac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} = 2^3 = 8 $$

Nel caso di una potenza elevata a un altro esponente, moltiplichi gli esponenti tra loro:

$$ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64 $$

Quando si eleva un prodotto, invece, ogni fattore viene elevato separatamente:

$$ (3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144 $$

Analogamente, la potenza di un quoziente si ottiene elevando separatamente numeratore e denominatore

$$ \left(\frac{12}{4}\right)^2 = \frac{12^2}{4^2} = \frac{144}{16} = 9 $$

Sono solo alcuni esempi pratici per prenderci la mano.

Perché le potenze semplificano i calcoli? Immagina di dover calcolare questa espressione $$ \frac{(16^4 \cdot 16^9)^2}{16^{29}} $$ Perderesti molto tempo a svolgere tutti i calcoli! Usando la proprietà delle potenze la risolvi in pochi secondi, svolgendo semplici operazioni aritmetiche. Ad esempio, quando si moltiplicano potenze con la stessa base, si sommano gli esponenti: $$ \frac{(16^4 \cdot 16^9)^2}{16^{29}} = \frac{(16^{4+9})^2}{16^{29}} = \frac{(16^{15})^2}{16^{29}} $$ La potenza di una potenza si risolve moltiplicando tra loro gli esponenti. $$ \frac{(16^{15})^2}{16^{29}} = \frac{16^{15 \cdot 2}}{16^{29}} = \frac{16^{30}}{16^{29}} $$ Infine, quando si dividono potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti: $$ \frac{16^{30}}{16^{29}} = 16^{30-29}= 16 $$ Il risultato finale è 16. Quindi, utilizzando le proprietà delle potenze, l'espressione si semplifica facilmente e rapidamente, evitando calcoli complessi e prolungati.

Le potenze con esponente 1 e 0

La definizione di potenza è valida quando l’esponente è maggiore di 1, perché ha senso parlare di moltiplicazione solo quando ci sono almeno due fattori.

Tuttavia, è utile definire anche cosa accade quando l’esponente è 1 o 0:

Esponente 1
Se l’esponente è 1, la potenza di un numero $ a $ è semplicemente $ a $ stesso. $$ a^1 =a $$
Quindi, per definizione, $ a^1 = a $. Questo è intuitivo: se si moltiplica un numero una sola volta, il risultato è il numero stesso.
Ecco un esempio pratico per chiarire meglio il concetto. Immagina di avere il numero 7 e di elevarlo alla potenza di 1, ovvero $ 7^1 $. Secondo la definizione, una potenza con esponente 1 è semplicemente il numero stesso: $$ 7^1 = 7 $$ Questo è intuitivo: se pensi alla potenza come una moltiplicazione ripetuta, elevare 7 alla potenza di 1 significa moltiplicarlo per se stesso una sola volta. $$ 7^1 = 7 $$ Il risultato è quindi sempre il numero iniziale, perché non stai moltiplicando 7 con altri fattori.
Esponente 0
Per ogni numero naturale $ a $ diverso da 0, si pone per definizione che $ a^0 = 1 $. $$ a^0 =1 $$
Questo ti può sembrare meno intuitivo, ma è coerente con le regole della matematica. In particolare, se pensi alla proprietà delle potenze che dice $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, puoi facilmente vedere che per far sì che questa regola sia valida anche quando $ n = 0 $, devi necessariamente avere $ a^0 = 1 $. $$ a^n \cdot a^0 = a^{n+0} = a^n $$ Un altro modo per dimostrare che $ a^0 = 1 $ consiste nell'applicare la regola della divisione tra potenze $$ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 $$ Al primo membro c'è il rapporto tra due numeri uguali $ \frac{a^n}{a^n} = 1 $ che dà come risultato 1. Pertanto, l'unica scelta è porre $ a^0 = 1 $
Ad esempio, immagina di dover moltiplicare $ 2^3 $ e $ 2^0 $. Per la proprietà delle potenze, sappiamo che il prodotto tra due potenze con la stessa base equivale a sommare i loro esponenti: $$ 2^3 \cdot 2^0 = 2^{3+0} $$ $$ 2^3 \cdot 2^0 = 2^3 $$ Il risultato è quindi $ 2^3 $. In altre parole, moltiplicare $ 2^3 $ per $ 2^0 $ non cambia il valore della potenza: rimane sempre $ 2^3 $. Questo accade perché, in matematica, l'elemento neutro della moltiplicazione è 1. Dunque, per mantenere la coerenza, $ 2^0 $ deve necessariamente essere uguale a 1: $$ 2^3 \cdot 1 = 2^3 $$ Quindi, è evidente che $ 2^0 = 1 $.

Un caso speciale è $ 0^0 $, che resta indefinito poiché non esiste un consenso matematico univoco su quale valore debba assumere. Alcuni lo lasciano privo di significato per evitare ambiguità.

Perché 0⁰ non è un'operazione definita?

La questione del valore di $ 0^0 $ è una delle ambiguità matematiche più discusse, e per capirla è importante considerare due ragionamenti apparentemente in conflitto.

L'ambiguità nasce quindi dal fatto che, in algebra, due regole delle potenze portano a risultati diversi nel caso di $ 0^0 $:

Se segui la regola $a^0 = 1$, allora $0^0$ dovrebbe essere $1$.
Se segui la regola $0^n = 0$, allora $0^0$ dovrebbe essere $0$.

Questi due ragionamenti portano a conclusioni opposte: uno suggerisce che $ 0^0 $ dovrebbe essere 1, mentre l’altro suggerisce che dovrebbe essere 0.

Poiché entrambe le interpretazioni sono valide ma portano a risultati diversi, $0^0$ viene considerato indefinito.

Questa scelta evita ambiguità e contraddizioni.

Un altro modo per dimostrare che $ 0^0 $ è indefinito è seguire questo ragionamento. Puoi esprimere $ 0^0 $ come $ 0^{n-n} $, con $ n > 0 $. $$ 0^0 = 0^{n-n} $$ Applicando le proprietà delle potenze, puoi riscrivere la differenza degli esponenti come una divisione tra due potenze con la stessa base: $$0^0 = 0^{n-n} = \frac{0^n}{0^n} $$ Tuttavia, poiché $ 0^n = 0 $ per ogni $ n > 0 $, questa divisione risulta essere una divisione per zero, un'operazione notoriamente impossibile in matematica. Quindi anche $ 0^0 $ deve essere un'operazione indefinita.

Le potenze con esponente negativo

L’introduzione delle potenze con esponente negativo avviene solo quando si lavora con i numeri razionali.

Per qualsiasi base $ a \neq 0 $ e qualsiasi esponente naturale $ n $, si definisce la potenza con esponente negativo come il reciproco della potenza con esponente positivo corrispondente. $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

La condizione che la base sia diversa da zero $ a \neq 0 $ è essenziale perché il reciproco di zero non è definito. Pertanto, le potenze con esponente negativo non esistono se la base è zero.

In generale, l’esponente negativo si converte nel reciproco di una potenza con esponente positivo.

Ad esempio, se elevi 5 alla -1 ottieni il reciproco di 5.

$$ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} $$

Se invece elevi 3 alla -2 ottieni il reciproco di 3 elevato alla seconda

$$ (3)^{-2} = \frac{1}{(3)^2} = \frac{1}{9} $$

Fai attenzione al segno, se la base è negativa, il segno nel reciproco dipende dall’esponente: se è pari, il risultato è positivo; se è dispari, è negativo.

$$ (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} $$

Se la base è una frazione, ad esempio $ \frac{3}{2} $ il procedimento resta sempre lo stesso, devi semplicemente considerare la base come $ a = \frac{3}{2} $

$$ ( \frac{3}{2} )^{-2} = \left( \frac{1}{ \frac{3}{2} } \right)^{2} = \left( \frac{2}{ 3 } \right)^{2} = \frac{4}{9} $$

In questo modo possiamo dare un senso a simboli apparentemente privi di significato, come $ 2^{-3} $, mantenendo intatte le proprietà fondamentali delle potenze come:

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad \text{anche per esponenti negativi} $$

Questo concetto, benché inizialmente astratto, diventa perfettamente logico se affrontato con il giusto ragionamento.

Consideriamo l’esempio $ 2^{-3} $. Per mantenere valide le proprietà delle potenze, sappiamo che:

$$ 2^{-3} \cdot 2^3 = 2^{-3 + 3} = 2^0 = 1 $$

Affinché questa uguaglianza sia vera, $ 2^{-3} $ deve essere il reciproco di $ 2^3 $. Da qui nasce la definizione fondamentale:

$$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} $$

Nota che il risultato di una potenza con esponente negativo non è sempre negativo, né sempre positivo. L’esponente negativo non implica un risultato negativo. Il segno del risultato finale dipende esclusivamente dal segno della base e dall'esponente pari o dispari. Non dipende dal segno dell'esponente. Quindi, non confondere il segno della base con quello dell’esponente. Ad esempio, in $ (-2)^{-3} $, il risultato sarà negativo perché la base è negativa e l’esponente dispari: $$ (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} $$ Viceversa, in $ (-2)^{-2} $, il risultato sarà positivo perché la base è negativa e l’esponente pari: $$ (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} $$