Le proporzioni

Cos'è una proporzione?

In una proporzione, mettiamo a confronto due frazioni:

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$

La regola fondamentale che governa le proporzioni è la proprietà dei medi e degli estremi: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Possiamo scrivere questa relazione come:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

A cosa serve? Questa proprietà ci permette di calcolare un valore incognito quando gli altri tre sono noti.

Le proporzioni non sono solo una nozione astratta di matematica, ma hanno applicazioni molto pratiche in diversi campi. Ad esempio, le puoi vedere nelle mappe geografiche per indicare la proporzione tra la distanza sulla mappa e quella reale. Le puoi usare anche per convertire tra unità di misura diverse.

Un esempio pratico

Immaginiamo di voler risolvere una proporzione in cui uno dei termini $ x $ è sconosciuto.

$$ \frac{3}{4} = \frac{x}{8} $$

In questo caso 3 e 8 sono gli estremi, mentre 4 e x sono i medi. Applichiamo la proprietà dei medi e degli estremi:

$$ 3 \cdot 8 = 4 \cdot x $$

che si traduce in:

$$ 24 = 4x $$

Ora, dividendo entrambi i lati per 4, otteniamo il valore di x:

$$ x = \frac{24}{4} = 6 $$

Quindi, x è uguale a 6. Questo semplice calcolo dimostra come le proporzioni siano utili per trovare un valore sconosciuto.

Esempio 2

La proprietà dei medi e degli estremi è utile anche per verificare se due rapporti formano una proporzione.

Supponiamo di voler sapere se i rapporti \(\frac{2}{5}\) e \(\frac{6}{15}\) siano proporzionali.

Per farlo dovresti calcolare il quoziente in entrambi i rapporti e verificare se sono uguali, ma questo richiede di svolgere due divisioni e non è detto che siano calcoli semplici.

$$ \frac{2}{5} =  \frac{6}{15} $$

In alternativa, e più semplicemente, puoi applicare la proprietà dei medi e degli estremi.

Moltiplica gli estremi tra loro e confronta il risultato con il prodotto dei medi.

$$ 2 \cdot 15 = 5 \cdot 6 $$

In questo caso i due prodotti sono uguali, questo significa che i due rapporti indicano la stessa proporzione.

$$ 30 = 30 $$

In questo modo hai risolto il problema senza svolgere nemmeno una divisione.

Le proporzioni continue

Una proporzione si dice continua quando i due termini medi sono uguali.

In generale, una proporzione continua si scrive nella forma \(a : b = b : c\), dove \(b\) collega i due rapporti ed è detto medio proporzionale. 

$$ a:b = b:c $$

Ecco un esempio concreto di proporzione continua

$$ 3 : 9 = 9 : 27 $$

In questo caso il numero \(9\) è il medio proporzionale tra \(3\) e \(27\).

Le proprietà delle proporzioni

Le proporzioni hanno alcune proprietà interessanti che ne semplificano l’uso:

• Proprietà fondamentale: Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: $$ a \cdot d = b \cdot c $$ E' detta "fondamentale" perché da questa proprietà derivano tutte le altre proprietà delle proporzioni

  Ad esempio, prendiamo la proporzione $$ 5 : 10 = 3 : 6 $$ se moltiplichiamo tra loro gli estremi $ 5 \cdot 6 $ e i medi $ 10 \cdot 3 $ otteniamo lo stesso valore $$ 5 \cdot 6 = 10 \cdot 3 $$ $$ 30 = 30 $$

• Inversione dei rapporti: È possibile invertire i termini di ogni rapporto senza cambiare la proporzione: $$ a : b = c : d \implies b : a = d : c $$ E' anche detta proprietà dell'invertire.

  Ad esempio, prendiamo in considerazione la proporzione $$ 5 : 10 = 3 : 6 $$ se scambiamo tra loro il numeratore e il denominatore di ogni rapporto otteniamo un'altra proporzione $$ 10 : 5 = 6 : 3 $$ $$ 2 = 2 $$

• Scambio dei medi o degli estremi: Si possono scambiare i medi o gli estremi, mantenendo valida la proporzione: $$
  a : b = c : d \implies a : c = b : d $$ E' anche detta proprietà del permutare.
  

  Consideriamo la proporzione $$ 5 : 10 = 2 : 4 $$ se scambiamo tra i medi otteniamo un'altra proporzione $$ 5 : 2 = 10 : 4 $$$$  \frac{5}{2} = \frac{10}{4}$$$$  \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$ Lo stesso accade se scambiamo tra loro gli estremi. $$ 4 : 10 = 2 : 5 $$$$  \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$$$  \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$$

• Addizione dei termini: Se sommiamo i termini di ciascun rapporto, la proporzione resta valida: $$ a : b = c : d \implies (a + b) : a = (c + d) : c $$ $$ a : b = c : d \implies (a + b) : b = (c + d) : d $$ E' anche detta proprietà del comporre.
  

  Ad esempio, consideriamo la proporzione $$ 5 : 10 = 2 : 4 $$ Se applichiamo questa proprietà otteniamo un'altra proporzione $$ (5+10) : 5 = (2+4) : 2 $$ $$ 15 : 5 = 6 : 2 $$ $$ 3 = 3 $$ Lo stesso vale in quest'altro caso.$$ (5+10) : 10 = (2+4) : 4  $$ $$ 15:10 = 6:4 $$ $$ \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $$

• Sottrazione dei termini: Se sottraiamo i termini di ciascun rapporto, la proporzione resta valida: $$ a : b = c : d \implies (a - b) : a = (c - d) : c $$ $$ a : b = c : d \implies (a - b) : b = (c - d) : d $$ E' anche detta proprietà dello scomporre.
  

  Prendiamo in considerazione la proporzione $$ 10 : 5 = 4 : 2 $$ Se applichiamo questa proprietà otteniamo un'altra proporzione $$ (10-5) : 10 = (4-2) : 4 $$ $$ 5 : 10 = 2 : 4 $$ $$ 2 = 2 $$ Lo stesso vale in quest'altro caso.$$ (10-5) : 5 = (4-2) : 2  $$ $$ 5:5 = 2:2 $$ $$ 1=1 $$

Approfondire queste proprietà ti permetterà di affrontare con maggiore sicurezza molti problemi matematici.