La scomposizione in fattori primi di un numero
La scomposizione in fattori primi è il processo di esprimere un numero composto come prodotto dei suoi fattori primi. Si ottiene dividendo il numero successivamente per i numeri primi fino a ottenere 1 come quoziente finale. Questa scomposizione è unica per ogni numero, a meno dell'ordine dei fattori.
In aritmetica, i numeri possono essere classificati come primi o composti a seconda delle loro proprietà di divisibilità.
Un numero è detto numero primo se è divisibile solo per sé stesso e per 1.
Ad esempio, 2, 3, 5, 7 sono tutti numeri primi.
I numeri che non sono né primi né 1 sono detti numero composti perché possono essere scritti come prodotto di numeri primi, un processo noto come scomposizione in fattori primi.
Ad esempio, 4 è numero composto perché è divisibile per 2 ...oltre che per 1 e per se stesso.
La capacità di scomporre i numeri composti in fattori primi rappresenta uno dei concetti fondamentali della matematica, tanto da essere considerato il “mattoncino” essenziale su cui si fonda la teoria dei numeri.
Esempi di scomposizione in fattori primi
Per comprendere meglio, facciamo un esempio pratico di scomposizione in fattori primi.
Se provi a scomporre 12, puoi riscriverlo come:
$$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $$
In questo caso, tutti i fattori (2 e 3) sono numeri primi, quindi 12 è stato scomposto correttamente in fattori primi.
Come fare la scomposizione in fattori primi
Per scomporre un numero N in fattori primi, segui questo processo:
- Inizia dividendo il numero N per i numeri primi, partendo dal più piccolo (2, poi 3, 5, 7, e così via). Continua a dividere per lo stesso numero finché il quoziente è un numero intero diverso da uno.
Se il numero N termina con uno zero (es. 360), puoi anche iniziare dividendolo per \(2 \cdot 5\), cioè 10, finché il numero non termina più con zero. Poi, continuare a dividerlo per 2, 3, 5, ecc.
- Passa al numero primo successivo solo quando non riesci più a dividere il quoziente.
- Continua a dividere il quoziente fino a ottenere 1 come risultato finale. Il processo termina quando il quoziente finale è 1.
A questo punto, i numeri primi utilizzati per dividere il numero N sono i suoi fattori primi. La scomposizione finale sarà quindi il prodotto di questi fattori.
Esempio di scomposizione
Facciamo un esempio, considera il numero 36.
Inizia la scomposizione di 36 dividendolo per 2. Il quoziente di 36:2 è 18.
$$ 36 : 2 = 18 $$
Il numero 18 è ulteriormente divisibile per 2.
$$ 18 : 2 = 9 $$
Il numero 9 non è divisibile per 2 ma è divisibile per 3.
$$ 9 : 3 = 3 $$
Anche il numero 3 è divisibile per 3.
$$ 3 : 3 = 1 $$
Adesso il quoziente è il numero 1, quindi il processo finisce qui.
Pertanto, la scomposizione in fattori primi di 36 è la seguente:
$$ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 $$
Così, ora tutti i fattori sono numeri primi.
Quando fai la scomposizione è utile tracciare una riga e scrivere il numero iniziale in alto a sinistra, con il primo numero primo che lo divide indicato a destra della linea. Successivamente, scrivi sotto il quoziente e ripeti il procedimento con il nuovo numero ottenuto, continuando fino a ottenere 1 come risultato finale. I numeri a destra della linea rappresentano i fattori primi del numero iniziale. Ad esempio, nel caso del 18 puoi scrivere $$ \begin{array}{r|l} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$ Questa è una tecnica molto utile per tenere traccia dei passaggi in modo ordinato e rende la scomposizione più chiara e facile da seguire.
Un altro esempio
La scomposizione in fattori primi può essere più complessa per numeri più grandi, ma la logica resta invariata.
Considera, ad esempio, la scomposizione di 720:
Questo numero termina con zero, quindi inizialmente puoi dividerlo per 2·5 e ottenere 72 come quoziente
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & \\ \end{array} $$
Dopo questa semplificazione iniziale, puoi iniziare a dividerlo per i numeri primi a partire da 2 in poi.
Dividi 72 per 2 (il più piccolo numero primo) e scrivi il quoziente nella riga seguente:
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & 2 \\ 36 & \\ \end{array} $$
Il numero 36 è ancora un numero divisibile per 2.
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & \\ \end{array} $$
Anche il numero 18 è divisibile per 2
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & \\ \end{array} $$
Il numero 9 è un numero dispari, quindi non puoi dividerlo per 2.
Passa al numero primo successivo e dividilo per 3.
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & \\ \end{array} $$
Anche il numero 3 è divisibile per 3.
$$ \begin{array}{r|l} 720 & 2 \cdot 5 \\ 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$
Il processo termina qui perché il risultato finale è 1.
Ogni numero sulla destra della riga rappresenta un fattore primo del numero iniziale.
Quindi, la scomposizione in fattori primi del numero \(720\) è la seguente:
$$ 720 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 $$
$$ 720 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 $$
Questo è il prodotto dei fattori primi di \(720\).
Questa scomposizione dimostra che ogni numero composto può essere espresso come prodotto di numeri primi in modo univoco.
Questa proprietà è formalizzata dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, che afferma che la scomposizione in fattori primi è unica per ciascun numero composto, a meno dell’ordine dei fattori. Ad esempio, 15 si può scrivere solo come \(3 \cdot 5\) o \(5 \cdot 3\), non esistono altre combinazioni di numeri primi che diano lo stesso risultato.
In conclusione, comprendere come i numeri si scompongano in fattori primi ti permette di esplorare la struttura nascosta dei numeri e applicare queste conoscenze per semplificare i calcoli.
