Le espressioni numeriche
Una espressione numerica è una sequenza di numeri legati tra loro da operazioni come somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione, e talvolta anche da parentesi, che determinano l’ordine esatto in cui eseguire i calcoli.
Le espressioni numeriche sono alla base della matematica e della risoluzione di problemi, in quanto ti permettono di rappresentare e risolvere le operazioni matematiche in modo ordinato e senza ambiguità.
Ecco un esempio pratico di espressione numerica:
$$ 3 + \{ 2 \cdot [4 + (6 - 3)] \} $$
Vediamo insieme perché questo concetto è fondamentale e quali regole lo guidano.
L'ordine delle operazioni
Per risolvere le espressioni numeriche in modo univoco, la matematica ha stabilito un preciso ordine di precedenza tra le operazioni:
- Potenze: prima si risolvono eventuali potenze, come \(3^2\) o \(4^3\).
- Moltiplicazioni e divisioni: dopo le potenze, si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui appaiono da sinistra a destra.
- Addizioni e sottrazioni: infine, si risolvono le addizioni e sottrazioni, sempre nell'ordine in cui appaiono da sinistra a destra.
Quindi, quando svolgi un'espressione numerica ricordati che le operazioni matematiche hanno una priorità differente, alcune vanno eseguite prima di altre.
Un esempio
Ad esempio, immagina di dover risolvere questa espressione:
$$ 2 + 3 \cdot 4 $$
Per prima cosa devi svolgere la moltiplicazione $ 3 \cdot 4 = 12 $
$$ 2 + 3 \cdot 4 = 2+ 12 $$
Poi puoi eseguire l'addizione.
$$ 2 + 3 \cdot 4 = 2+ 12 = 14 $$
Il risultato dell'espressione è 14.
Senza queste regole le espressioni numeriche diventerebbero ambigue. Ad esempio, se nell'espressione precedente avessi eseguito prima l'addizione $ 2+3 $ e poi la moltiplicazione avresti ottenuto un risultato diverso. $$ 2 + 3 \cdot 4 = 6 + 4 = 10 $$ Quindi, anche se a prima vista, potrebbe sembrarti che non ci siano dubbi su come calcolare l'espressione numerica, in realtà, senza regole precise, i risultati possono variare. In questo caso qual è il risultato valido 10 o 14? Per evitare che si creino queste ambiguità si applicano delle priorità per ciascuna operazione. Prima le potenze, poi le moltiplicazioni e divisione e, infine, le addizioni e le sottrazione. Seguendo queste regole non ci sono dubbi sul fatto che il risultato valido è 14. $$ 2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14 $$
L’utilizzo delle parentesi
Le parentesi possono alterare l’ordine delle operazioni e ti permettono di dare priorità a determinati calcoli.
Esistono vari tipi di parentesi: tonde `()`, quadre `[]` e graffe `{}`, che aiutano a organizzare visivamente i calcoli quando l’espressione diventa complessa.
Un esempio pratico
Ad esempio, guarda questa espressione:
$$ 3 + \{ 2 \cdot [4 + (6 - 3)] \} $$
In questo caso, il calcolo deve seguire un ordine specifico: prima risolviamo l’espressione all’interno delle parentesi tonde, poi quella tra le parentesi quadre, e infine eseguiamo la moltiplicazione esterna.
Calcoliamo prima l’operazione tra parentesi tonde: \(6 - 3 = 3\).
$$ 3 + \{ 2 \cdot [4 + \underbrace{(6 - 3)}_{3}] \} $$
$$ 3 + \{ 2 \cdot [4 + 3] \} $$
Sostituiamo e risolviamo dentro le parentesi quadre: \(4 + 3 = 7\).
$$ 3 + \{ 2 \cdot \underbrace{ [4 + 3] }_{7} \} $$
$$ 3 + \{ 2 \cdot 7 \} $$
Andiamo alle parentesi graffe e calcoliamo la moltiplicazione: \(2 \cdot 7 = 14\).
$$ 3 + \underbrace{ \{ 2 \cdot 7 \}}_{14} $$
$$ 3 + 14 $$
Infine, sommiamo il risultato con il numero all'esterno: \(3 + 14 = 17\).
$$ 17 $$
Il risultato dell'espressione è dunque 17.
Nelle espressioni complesse si usano solo le parentesi tonde
Le parentesi tonde, quadre e graffe servono a indicare l’ordine delle operazioni in modo più visibile, ma in espressioni particolarmente complesse potrebbero comunque non bastare per organizzare chiaramente i calcoli.
In questi casi, si ricorre all'uso esclusivo delle parentesi tonde, risolvendo sempre prima quelle più interne e poi via via le più esterne.
Questo approccio, sebbene meno organizzato visivamente, garantisce comunque l'ordine corretto delle operazioni, a patto di rispettare sempre la gerarchia dall'interno verso l'esterno.
Ad esempio, la precedente espressione puoi scriverla anche in questo modo. $$ 3 + ( 2 \cdot (4 + (6 - 3)) ) $$ Si risolve prima la coppia di parentesi tonde più interne (6-3)=3. $$ 3 + ( 2 \cdot (4 + 3) ) $$ Poi la coppia di parentesi più interna che segue ossia (4+3)=7 $$ 3 + ( 2 \cdot 7 ) $$ Infine il prodotto tra parentesi e la somma finale. $$ 3 + 14 = $$ Il risultato finale è sempre 17 anche utilizzando tutte parentesi dello stesso tipo. Questo è dovuto al fatto che il loro utilizzo rispetta comunque le priorità descritte, senza necessità di ulteriori parentesi.
Queste semplici regole ti permettono di calcolare correttamente anche espressioni numeriche complesse.
