Il teorema fondamentale dell'aritmetica
Il teorema fondamentale dell'aritmetica castabilisce che ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo, oppure può essere scritto in un unico modo come prodotto di numeri primi.
E' uno dei pilastri della matematica, una verità che sembra quasi intuitiva una volta compresa, ma che cela una straordinaria importanza.
Questa unicità della scomposizione in fattori primi è ciò che permette alla matematica di mantenere una struttura ordinata e prevedibile: ogni numero è, in un certo senso, unico nel suo "DNA" numerico.
Ad esempio, il numero 12 può essere scomposto nel prodotto dei numeri primi 2 e 3
$$ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $$
In questa scomposizione in fattori primi potresti cambiare l'ordine dei fattori, ad esempio scrivere $ 12=3×2×2 $ oppure $ 12=2 \times 3 \times 2 $, ma il prodotto resterebbe sempre lo stesso.
Quindi, la combinazione di fattori è l'unica possibile per ottenere il numero 12 con numeri primi.
Secondo il teorema fondamentale dell'aritmetica, l'unicità della scomposizione in fattori primi è garantita per ogni numero naturale maggiore di 1.
La vera essenza di questo teorema risiede nella comprensione dei numeri primi. Sono loro i "mattoni" fondamentali dell'aritmetica, elementi indivisibili che, combinati in vari modi, danno origine a tutti gli altri numeri. Se immagini ogni numero come un edificio, i numeri primi sono i mattoni con cui è costruito. Senza di essi, l'intera struttura dell'aritmetica crollerebbe, poiché non ci sarebbe un sistema coerente per scomporre i numeri.
Allo stesso modo puoi scrivere 30 come il prodotto tra i numeri primi 2, 3, e 5, in modo unico indipendentemente dall'ordine dei fattori.
$$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$
In generale, qualsiasi numero può essere espresso come prodotto di numeri primi.
Il caso particolare del numero 1
Un dettaglio importante che spesso genera curiosità riguarda il motivo per cui il numero 1 non è considerato un numero primo.
Perché non è considerato un numero primo?
A prima vista sembrerebbe esserlo, perché è divisibile per 1 e per se stesso. Tuttavia, non è un numero primo proprio per efftto del teorema fondamentale dell'aritmetica.
Se il numero 1 fosse incluso tra i numeri primi, la scomposizione in fattori primi non sarebbe più unica.
Ad esempio, se consideri il numero 24, puoi scomporlo come \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \).
$$ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$
Tuttavia, se il numero 1 fosse un primo, potresti scrivere 24 anche come \( 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \), o come \( 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \), e così via all’infinito.
$$ 24 = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$
$$ 24 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$
$$ 24 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 $$
$$ \vdots $$
Questa ripetizione violerebbe l'unicità della scomposizione, rendendo impossibile una rappresentazione unica, ordinata e coerente dei numeri.
Per questa ragione il numero 1 non è considerato un numero primo!
