I criteri di divisibilità dei numeri
I criteri di divisibilità ti aiutano a capire rapidamente se un numero intero è divisibile per un altro numero senza dover eseguire complicati calcoli di divisione.
Questi criteri si basano su particolari proprietà dei numeri, che rendono possibile l'individuazione dei divisori tramite semplici osservazioni.
Vediamo i criteri di divisibilità per i numeri più comuni, come 2, 3, 4, 5, 9, 11 e 25.
Divisibilità per 2
Un numero è divisibile per 2 se l'ultima cifra è pari. I numeri pari, infatti, terminano sempre con 0, 2, 4, 6 o 8, garantendo la divisibilità per 2.
Ad esempio, il numero 12 è divisibile per 2, poiché termina con il numero 2.
Divisibilità per 3 e per 9
Per stabilire se un numero è divisibile per 3 o per 9, devi sommare tutte le cifre. Se la somma è divisibile per 3, allora lo è anche il numero, e lo stesso vale per 9.
Ad esempio, considera il numero 4455. La somma delle cifre è $ 4 + 4 + 5 + 5 = 18 $. Poiché 18 è divisibile sia per 3 che per 9, anche 4455 è divisibile per entrambi.
Divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 o con 5. Questo perché ogni multiplo di 5, quando scritto in notazione decimale, termina sempre con una di queste due cifre.
Ad esempio, il numero 340 è divisibile per 5, dato che finisce con 0.
Divisibilità per 4 e per 25
Per verificare la divisibilità per 4, devi considerare il numero formato dalle ultime due cifre. Se questo numero è divisibile per 4, allora anche l'intero numero è divisibile per 4.
Ad esempio, nel numero 3124, le ultime due cifre sono 24, e poiché 24 è divisibile per 4, anche 3124 lo è.
Per la divisibilità per 25, puoi applicare lo stesso criterio, ma in questo caso bisogna verificare che le ultime due cifre siano un numero divisibile per 25.
Ad esempio, nel numero 175, le ultime due cifre sono 75, che è divisibile per 25.
Un caso particolare è quando il numero termina con due zeri: in tal caso, è divisibile sia per 4 che per 25, come avviene con 5200.
Divisibilità per 7
Il criterio di divisibilità per 7 prevede un metodo particolare. Prendi l'ultima cifra del numero, raddoppiala e sottraila dal numero che rimane quando si elimina l'ultima cifra. Se il risultato è divisibile per 7 (compreso 0), allora anche il numero originale lo è.
Ad esempio, prendiamo il numero 203.
- Separa l'ultima cifra (3) e raddoppiala (3 × 2 = 6).
- Sottrai 6 dal numero rimanente (20 - 6 = 14).
- Poiché 14 è divisibile per 7, anche 203 è divisibile per 7.
Se necessario, puoi ripetere il procedimento fino ad arrivare a un numero facilmente riconoscibile come divisibile per 7 o no.
Questo criterio può essere applicato a numeri di qualsiasi lunghezza e, se ripetuto, aiuta a verificare rapidamente la divisibilità per 7.
Divisibilità per 8
Per verificare se un numero è divisibile per 8, prendi la terz'ultima cifra del numero e raddoppiala. Poi somma il risultato alla penultima cifra e raddoppia nuovamente il risultato ottenuto. Infine, somma l'ultima cifra del numero. Se il risultato finale è un multiplo di 8, allora anche il numero originale è divisibile per 8.
Ad esempio, prendiamo il numero 1.432:
- La terz'ultima cifra è 4, raddoppiala $$ 4 \times 2 = 8 $$
- Somma alla penultima cifra (3): $$ 8 + 3 = 11 $$
- Raddoppia il risultato e somma l'ultima cifra (2): $$ 11 \times 2 + 2 = 24 $$
- Poiché 24 è divisibile per 8, anche 1.432 è divisibile per 8.
Questo metodo è una valida alternativa quando si ha bisogno di un processo passo-passo per valutare la divisibilità per 8.
Divisibilità per 11
Il criterio di divisibilità per 11 è un po' più complesso e richiede di calcolare la differenza tra la somma delle cifre in posizione dispari e la somma delle cifre in posizione pari, contando le posizioni a partire da destra. Se la differenza è divisibile per 11, allora lo è anche il numero.
Prendiamo il numero 121. La somma delle cifre in posizione dispari è 1 + 1 = 2, mentre quella della cifra in posizione pari è 2. La differenza è 0, che è divisibile per 11, quindi 121 è divisibile per 11.
Questo metodo si applica a numeri di qualsiasi lunghezza e può essere ripetuto finché non si raggiunge un risultato semplice da valutare.
Riassunto dei criteri di divisibilità
In sintesi i principali criteri di divisibilità sono i seguenti:
| Divisibile per | Condizione | Esempio |
|---|---|---|
| 2 | L'ultima cifra è pari | 12 |
| 3 o 9 | La somma delle cifre è divisibile per 3 o 9 | 4455 4 + 4 + 5 + 5 = 18 |
| 4 o 25 | Le ultime due cifre formano un numero divisibile per 4 o 25 | 3124 24:4=6 1475 75:25=3 |
| 5 | L'ultima cifra è 0 o 5 | 340 125 |
| 6 | Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3. | 84 84:2=41 84:3=28 |
| 7 | La differenza tra il numero senza la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è divisibile per sette | 329 32-(9×2)=14 14:7=2 |
| 8 | Somma le unità con il doppio delle decine e il quadruplo delle centinaia. Se il numero ottenuto è divisibile per 8, allora lo è anche il numero originale. | 6432 2+(3×2)+(4×4)=24 24:8=3 |
| 11 | La differenza tra la somma delle cifre in posizioni dispari e pari è divisibile per 11 | 91828 9+8+8-1-2=22 22:11=2 |
Questi criteri rendono il calcolo più rapido e ti permettono di valutare la divisibilità di grandi numeri senza dover eseguire lunghe divisioni.
Sono utili in varie situazioni matematiche e ti consentono di risparmiare tempo nella risoluzione di problemi complessi.
