L'addizione è un'operazione interna ai numeri naturali
L'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali perché, la somma di due numeri naturali qualsiasi è sempre un altro numero naturale.
In altre parole, l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'operazione di addizione, il che significa che non si esce mai dall'insieme sommandone due elementi.
Ora cerchiamo di rendere chiaro questo concetto senza complicarci troppo la vita.
Prima di tutto, cosa sono i numeri naturali?
I numeri naturali sono quei simpatici numeri che cominciano da zero e vanno avanti all'infinito: 0, 1, 2, 3, 4, e così via.
Sono i numeri che usiamo per contare le cose. "Ho 3 mele", "C'è 1 cane", "Ci sono 7 giorni in una settimana". Questi sono tutti esempi di numeri naturali.
$$ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \} $$
Ora, l'addizione è un'operazione che ci permette di combinare due numeri per ottenere un nuovo numero.
Prendiamo un esempio classico: hai 2 mele, poi qualcuno ti dà altre 3 mele. Quante mele hai adesso? Beh, 2 + 3 = 5! Ecco, hai 5 mele.
$$ 2+3 = 5 $$
Non solo abbiamo fatto un’operazione di addizione, ma abbiamo anche dimostrato qualcosa di molto interessante: quando sommi due numeri naturali, ottieni sempre un numero naturale.
Non ti ritroverai mai con un numero che non appartiene all'insieme dei numeri naturali.
Per esempio, non finirai mai con una frazione o un numero negativo facendo addizioni con numeri naturali.
L'addizione funziona sempre allo stesso modo con qualsiasi coppia di numeri naturali: parti da numeri naturali, e ottieni sempre un altro numero naturale. Non c’è via di scampo, non puoi uscire da quell’insieme con l’addizione. Se provi a fare questo con qualsiasi coppia di numeri naturali, il risultato sarà sempre un altro numero naturale. Se sommi 0 e 4, ottieni 4. Se sommi 10 e 25, ottieni 35. E via dicendo.
Facciamo un altro esempio. Immagina di avere una scatola con 5 palline e un'altra scatola con 8 palline.
Se metti insieme tutte le palline, quante ne hai? Sommiamo 5 + 8 = 13. Ancora una volta, 13 è un numero naturale.
$$ 5+ 8 = 13 $$
L'addizione ha mantenuto la "naturalezza" dei numeri!
Questo è esattamente il punto cruciale di cui stiamo parlando. Ecco perché si dice che l'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.
È come se i numeri naturali fossero una grande famiglia: quando due membri di questa famiglia si mettono insieme (sommati), il risultato è sempre un altro membro della stessa famiglia!
Ma guarda, se ci pensi bene, questa cosa non è così ovvia come potrebbe sembrare. Infatti, non tutte le operazioni rispettano questa "regola". Per esempio, se prendi i numeri naturali e provi a sottrarli, potresti uscire dall’insieme. Se provi a fare 5 - 7, non ottieni un numero naturale, a meno che tu non voglia contare le mele in qualche universo strano dove esistono mele "negative"! E non credo che qualcuno voglia trovarsi con -2 mele. Del resto, puoi rappresentare il numero 2 con le dita ma non puoi farlo con il numero -2.
Quindi, riassumendo: quando sommi due numeri naturali, sei sicuro che il risultato sarà sempre un altro numero naturale.
E questo è proprio ciò che significa dire che "l'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali".
Non importa quali numeri scegli, il risultato dell'addizione resta sempre "in casa", tra i numeri naturali!
Facile, no?
