L'elemento assorbente della moltiplicazione
L'elemento assorbente della moltiplicazione è il numero che, moltiplicato per qualsiasi altro numero $ n $, dà sempre come risultato se stesso. Nel caso dei numeri reali, l'elemento assorbente è lo zero. $$ n \times 0 = 0 \times n = 0 $$
Ciò significa che moltiplicare qualsiasi numero per zero dà sempre zero.
Anche se moltiplichi numeri grandissimi o minuscoli, la presenza di uno zero nella moltiplicazione "assorbe" tutto e fa svanire il risultato.
In altre parole, questo numero annulla l'altro numero, facendolo “scomparire” dal risultato finale. Come vedremo, questo risultato apparentemente banale è alla base di molte proprietà della matematica.
Un esempio
L'elemento assorbente annulla qualunque numero con cui viene moltiplicato.
Qualsiasi numero venga moltiplicato per 0, il risultato sarà sempre 0:
Ad esempio, se moltiplichi 5 per 0, ottieni 0:
$$ 5 \times 0 = 0 $$
Se moltiplichi 100 per 0, ottieni ancora 0:
$$ 100 \times 0 = 0 $$
Anche con numeri molto grandi o molto piccoli.
$$ 100000000 \times 0 = 0 $$
$$ 0.0000001 \times 0 = 0 $$
Il risultato finale è sempre lo stesso: zero.
Perché l'elemento assorbente è importante?
L'elemento assorbente nella moltiplicazione può sembrarti un concetto banale, ma è un principio che rivela una profonda importanza nella matematica.
Ad esempio, in algebra, l’elemento assorbente è usato per semplificare espressioni e risolvere problemi. Da questo deriva la legge di annullamento del prodotto: se un prodotto è nullo, allora almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero. $$ a \times b = 0 $$
Il fatto che nessun numero sia divisibile per zero deriva proprio dall'elemento assorbente della moltiplicazione.
Quando si prova a dividere un numero $ n $ per zero, ci si chiede: "Quale numero $ m $ moltiplicato per zero, darebbe il numero $ n $?"
$$ \frac{n}{0} = m $$
Ma siccome qualsiasi numero $ m $ moltiplicato per zero dà sempre zero, non esiste un risultato possibile.
$$ m \times 0 = 0 \ne n $$
Per questo, la divisione per zero è considerata un'operazione indefinita in matematica.
Ad esempio, prova a dividere 5 per zero $$ \frac{5}{0} = m $$ Ora cerca un numero $ m $ che moltiplicato per il divisore (0) dia come risultato il dividendo (5). Questo numero non esiste, perché la moltiplicazione di qualsiasi numero per zero dà come risultato zero. $$ 1 \times 0 = 0 \\ 2 \times 0 = 0 \\ 3 \times 0 = 0 \\ \vdots $$
L'elemento assorbente in altre operazioni
Fin qui abbiamo parlato della moltiplicazione, ma anche altri tipi di operazioni matematiche possono avere il loro elemento assorbente.
Ad esempio, nella logica booleana, un'operazione spesso utilizzata nell'informatica, l'elemento assorbente per la congiunzione (AND) è falso. $$ \text{Falso AND Vero = Falso } $$ $$ \text{Falso AND Falso = Falso } $$ In generale, se in un'operazione logica uno dei valori è falso, il risultato sarà sempre falso, indipendentemente dall'altro valore. È un concetto analogo a quello dello zero nella moltiplicazione.
