La divisione per zero

In altre parole, nessun numero può essere diviso per zero ma è possibile dividere lo zero per un numero diverso da zero.

Ma perché la divisione per zero è un'operazione matematica impossibile? Qual è la differenza tra un'operazione impossibile e una indeterminata? Cerchiamo di sciogliere questo enigma.

Ora vedremo di spiegare nel dettaglio ogni singolo caso.

Divisione di un numero \( n \) per zero con \( n \neq 0 \)

Questa operazione è impossibile. La divisione per zero non è definita perché non esiste un numero che, moltiplicato per zero, dia un numero diverso da zero.

In aritmetica la divisione è l'inverso della moltiplicazione.

Quindi, quando dici "10 diviso per 2 fa 5", ciò significa che se moltiplichi il quoziente 5 per 2, ottieni 10.

$$ 10:2 = 5 \Leftrightarrow 5 \cdot 2 = 10 $$

Questa relazione funziona con tutti i numeri, tranne quando utilizzi lo zero come divisore.

Ecco un esempio pratico.

$$ 10:0 = x \Leftrightarrow x \cdot 0 = 10 $$

Se vuoi trovare il risultato della divisione "10 diviso zero", dovresti trovare un numero x che moltiplicato per zero è uguale a 10.

Questo numero non esiste perché lo zero è l'elemento assorbente della divisione: il prodotto di un numero per zero è sempre uguale a zero.

Pertanto, nessun numero moltiplicato per zero può dare 10 o qualsiasi altro numero.

Per questa ragione la divisione per zero è impossibile (indefinita).

Questo discorso vale anche per tutti i numeri non nulli.

Ad esempio, "15 diviso zero" è ancora una operazione indefinita, perché nessun numero moltiplicato per zero è uguale a quindici.

$$ 15:0 = x \Leftrightarrow x \cdot 0 = 15 $$

E via dicendo per tutti gli altri numeri non nulli.

Potresti pensare che, di conseguenza, l'operazione "zero diviso zero" dovrebbe essere possibile. Tuttavia, non è così, perché la divisione di zero per zero risulta essere "indeterminata", in quanto qualsiasi numero moltiplicato per zero fornisce come risultato zero. Nel prossimo paragrafo ti spiego perché.

Divisione di zero per zero

La divisione zero per zero è indeterminata perché non c'è un valore unico che soddisfa l'equazione \( x \cdot 0 = 0 \).

Infatti, qualsiasi numero moltiplicato per zero risulta zero, quindi non si può determinare un valore specifico.

Ad esempio, se prendi qualsiasi numero x moltiplicato per zero e otterrai zero (dove x può essere 1,2,3,...)

$$ 0:0 = x \Leftrightarrow x \cdot 0 = 0 $$

E qui nasce la complessità: l'equazione "zero diviso zero" non ha un'unica soluzione, ammette infiniti valori possibili per x. 

Quindi, anche la divisione $ 0:0 $ è un'operazione proibita in matematica ma per un motivo diverso.

Divisione di zero per un numero \( n \neq 0 \)

Questa operazione è definita e il risultato è sempre zero. Se dividi zero per qualsiasi numero diverso da zero, il quoziente è zero.

Ad esempio, "0 diviso 2" è un'operazione possibile e il risultato è sempre 0.

$$ 0:2 = 0 \Leftrightarrow 0 \cdot 2 = 0 $$

Il quoziente è sempre zero in conseguenza della legge di annullamento del prodotto.

Allo stesso modo puoi dividere 0 per 5

$$ 0:5 = 0 \Leftrightarrow 0 \cdot 5 = 0 $$

Anche in questo caso l'operazione è definita. E via dicendo.

In generale, puoi dividere lo zero per qualsiasi numero diverso da zero e il risultato è sempre zero.

Spero che ora sia tutto chiaro.