La moltiplicazione è un'operazione interna ai numeri naturali
La moltiplicazione è un'operazione interna ai numeri naturali perché quando moltiplichi due numeri naturali, ottieni sempre un altro numero naturale.
Quando diciamo che "la moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali", stiamo affermando qualcosa di semplice, ma potente.
Prima di spiegare tutto, dobbiamo chiarire due cose: cosa sono i numeri naturali e cosa intendiamo per operazione interna.
- Cosa sono i numeri naturali? I numeri naturali sono quelli che usiamo per contare. Sono numeri come 1, 2, 3, 4, e così via. Se li immagini come una lunga fila di mattoncini Lego, ogni numero naturale è un mattoncino che puoi aggiungere a questa infinita fila. Hanno un limite inferiore (lo zero) ma non hanno un limite superiore. Quindi, sono infiniti. $$ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,... \} $$ I numeri naturali sono il punto di partenza per quasi tutta la matematica che facciamo quotidianamente.
- Cos'è un'operazione interna? Quando parliamo di operazione interna, stiamo dicendo: "se prendo due numeri naturali e li moltiplico, ottengo ancora un numero naturale?". La risposta è sì, e questo è ciò che rende la moltiplicazione un'operazione interna ai numeri naturali.
Facciamo un esempio pratico.
Supponi di prendere due numeri naturali, diciamo 3 e 4.
Se li moltiplichi, ottieni 12.
$$ 4 \times 3 = 12 $$
Perfetto, 12 è ancora un numero naturale.
Non sei uscito fuori dall'insieme dei numeri naturali. Non è che all'improvviso ottieni qualcosa di strano come un numero negativo o un decimale.
Lo stesso accade se prendi qualsiasi altra coppia di numeri naturali. Il loro prodotto è sempre un numero naturale. Ad esempio $ 5 \times 2 = 10 $, $ 1 \cdot 4 = 4 $, $ 0 \times 7 = 0 $, ecc.
Per questa ragione la moltiplicazione è un'operazione "interna" ai numeri naturali.
Ma perché funziona così?
Beh, c'è una ragione più profonda dietro. La moltiplicazione, come la conosciamo, è in realtà un'estensione dell'addizione.
Quando diciamo "4 per 3", stiamo in realtà dicendo "prendi 4 e aggiungilo a se stesso 3 volte":
$$ 4 \times 3 = 4 + 4 + 4 = 12 $$
Quindi, poiché l'addizione dei numeri naturali è un'operazione interna (sommare due numeri naturali dà sempre un numero naturale), lo è anche la moltiplicazione, che non è altro che un modo elegante di fare addizioni ripetute.
Una curiosità: cosa succede se aggiungiamo lo zero? Quando introduciamo lo zero, la cosa diventa ancora più interessante. Moltiplicare qualsiasi numero per zero dà sempre zero. È come dire: "Ehi, voglio avere zero gruppi di qualcosa!". Se non hai gruppi, non hai niente, ed è per questo che il risultato è zero. Ma zero è pur sempre un numero naturale, quindi l'operazione rimane interna.
Questa stretta connessione con l'addizione ci salva dal caos che potrebbe derivare da operazioni che ci portano fuori dall'insieme dei numeri naturali.
Se non fosse così, la matematica sarebbe davvero un incubo!
