La proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione
La proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione o alla sottrazione ti permette di dividere ciascun termine separatamente, sommando o sottraendo i risultati ottenuti: $$ (a + b) : c = a : c + b : c $$ $$ (a - b) : c = a : c - b : c $$ Tuttavia, questa proprietà funziona solo se \(c \neq 0\) e solo "a destra".
Queste proprietà sono molto utili, specialmente per semplificare espressioni e risolvere equazioni in modo più efficiente.
Tuttavia, ricorda che la proprietà distributiva della divisione si applica solo a destra.
Questo significa che funziona solo quando la divisione è applicata all'intera somma o differenza dei termini, ovvero:
$$ (a + b) : c = a : c + b : c $$
$$ (a - b) : c = a : c - b : c $$
Ad esempio, se hai un'espressione del tipo $$ (8 + 2):2 = 8 : 2 + 2 : 2 $$ $$ 10 : 2 = 4 + 1 $$ $$ 5 = 5 $$ I due lati dell'equazione mostrano lo stesso risultato.
Viceversa, non si può applicare la proprietà a sinistra, ovvero non puoi distribuire la divisione quando il divisore si trova all’interno della somma o della differenza, come:
$$ a : (b + c) \neq a : b + a : c $$
In questo caso, la distribuzione non è possibile e l'uguaglianza non regge.
Questo chiarimento è di fondamentale importanza per evitare errori quando si manipolano le espressioni matematiche.
Ad esempio, se hai un'espressione in cui la somma o la sottrazione si trovano nel divisore $$ 10 : (2 + 3) \neq 10 : 2 + 10 : 3 $$ $$ 10 : 5 \neq 5 + 10 : 3 $$ $$ 2 \neq 5 + 10 : 3 $$ I due lati dell'equazione mostrano un risultato diverso. Questo ti dimostra che la proprietà distributiva non funzione a destra.
Distributiva della divisione rispetto all'addizione
Questa proprietà afferma che, se sommi due numeri \(a\) e \(b\) e poi dividi il risultato per un terzo numero \(c\), ottieni lo stesso risultato se dividi separatamente \(a\) e \(b\) per \(c\) e poi sommi i risultati. $$ (a + b) : c = a : c + b : c $$
Per assicurare che questa proprietà sia valida, devono essere rispettate alcune condizioni:
- La divisione per zero non è definita, quindi \(c\) deve essere diverso da zero \(c \neq 0\).
- Se stai lavorando con i numeri naturali, le divisioni devono essere possibili in ℕ: Questo implica che \(a\), \(b\) e \(c\) devono essere scelti in modo tale che la divisione di \(a\) per \(c\) e di \(b\) per \(c\) dia risultati che siano ancora numeri naturali.
Per esempio, se \(a = 6\), \(b = 4\) e \(c = 2\): $$ (a + b) : c = a : c + b : c $$ $$ (6 + 4) : 2 = 6 : 2 + 4 : 2 $$ $$ 10 : 2 = 3 + 2 $$ $$ 5 = 5 $$
Vediamo che i risultati coincidono, quindi la proprietà è verificata.
Distributiva della divisione rispetto alla sottrazione
Se sottrai due numeri \(a\) e \(b\) e dividi il risultato per \(c\), ottieni lo stesso risultato se dividi separatamente \(a\) e \(b\) per \(c\) e poi sottrai i risultati. $$ (a - b) : c = a : c - b : c $$
Anche qui, è essenziale che:
- La divisione per zero non è definita. Quindi, il divisore deve essere diverso da zero \(c \neq 0\)
- Se stai lavorando con i numeri naturali, le divisioni devono essere possibili in ℕ: Oltre a questo, devi assicurarti che \(a \geq b\) affinché \(a - b\) rimanga un numero naturale.
Ad esempio, se \(a = 8\), \(b = 4\) e \(c = 2\): $$ (a - b) : c = a : c - b : c $$ $$ (8 - 4) : 2 = 8 : 2 - 4 : 2 $$ $$ 4 : 2 = 4 - 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Anche in questo caso, la proprietà è verificata.
