La proprietà invariantiva della sottrazione
La proprietà invariantiva della sottrazione afferma che la differenza tra due numeri $ a-b $ rimane invariata se si sottrae o si aggiunge lo stesso valore $ c $ a entrambi i termini. $$ a - b = (a - c) - (b - c) $$ $$ a - b = (a + c) - (b + c) $$
In altre parole, sottraendo lo stesso numero \( c \) a entrambi i termini:
$$ a - b = (a - c) - (b - c) $$
Questo significa che, se sottraiamo lo stesso numero \( c \) sia a \( a \) che a \( b \), la differenza tra i due rimane invariata.
Allo stesso modo, se aggiungiamo lo stesso numero \( c \) a entrambi, la differenza non cambia.
$$ a - b = (a + c) - (b + c) $$
A cosa serve?
Questa proprietà è utile per semplificare i calcoli e per risolvere equazioni o espressioni in cui la differenza tra due numeri deve rimanere invariata nonostante una modifica uguale a entrambi i termini.
Esempio
Consideriamo un esempio numerico per illustrare la proprietà invariantiva della sottrazione.
Devi calcolare la differenza tra \( a = 12 \) e \( b = 5 \) .
$$ 12 - 5 = 7 $$
La differenza è 7.
Puoi ottenere lo stesso risultato sottraendo 2 sia al minuendo (12) che al sottraendo (7)
$$ (12-2) - (5-2) = 10-3 = 7 $$
In questo modo la sottrazione diventa $ 10 - 3 $ e il risultato è sempre 7.
Perché farlo? Sottraendo 2 al sottraendo 12 lo hai arrotondato. E' molto più semplice fare un calcolo a mente quando i numeri sono arrotondati nella parte decimale. In altre parole, è più intuitivo risolvere $ 10-3 $ piuttosto che $ 12-5 $. Il risultato è comunque lo stesso.
Ti faccio un altro esempio.
Calcola la differenza tra \( a = 23 \) e \( b = 9 \) .
$$ 23 - 9 = 14 $$
La differenza è 14.
Ora, applichiamo la proprietà invariantiva della sottrazione sommando +1 a entrambi i numeri.
$$ (23+1) - (9+1) = 24-10 = 14 $$
La differenza rimane invariata e vale ancora 14.
Anche in questo caso hai arrotondato un numero. E' molto più rapido calcolare la differenza $ 24-10 $ piuttsto che $ 23-9 $. In entrambi i casi la differenza è la stessa.
Abbiamo dimostrato con un esempio concreto che la differenza rimane la stessa sia aggiungendo che sottraendo lo stesso numero da entrambi i termini.
